Question

（2012•江漢區(qū)模擬）已知：拋物線F1：y=x2+mx+n的頂點(diǎn)為A（1，0）
（1）求F₁的函數(shù)解析式；
（2）如圖，直線y=

1

2

x+b交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，在拋物線F₁上有一點(diǎn)B，且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線y=

1

2

x+b對(duì)稱，若拋物線F₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且經(jīng)過點(diǎn)A，試求拋物線F₂的函數(shù)解析式；
（3）將（2）中求得的拋物線F₂向左平移n個(gè)單位得拋物線F₃，拋物線F₃的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，是否存在n使得tan∠BAP=

3

4

？若存在試求n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)F₁的函數(shù)解析式為y=（x-h）²+k，然后將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；
（2）設(shè)直線y=

1

2

x+b交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，那么CD垂直平分AB，不難證明△ABE∽△CDO，由于OC=2b，OD=b，故BE=2AE，可求得直線AB為y=-2x+2，與F₁聯(lián)立可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，4），故可得拋物線的解析式；
（3）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥DF于點(diǎn)E，易證△BEF∽△FDA，則

BE

DF

=

EF

DA

=

BF

FA

=

3

4

，又FE+FD=4，AD-BE=2，故可求得F(-

11

5

，

8

5

)，故直線AF的解析式為y=-

1

2

x+

1

2

，又由于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，故P（-7，4），得n=6．

解答：解：（1）設(shè)F₁的函數(shù)解析式為y=（x-h）²+k，
∵拋物線F1：y=x2+mx+n的頂點(diǎn)為A（1，0）
∴y=（x-1）²+0
即F₁的解析式為：F1：y=x2-2x+1；

（2）如圖，設(shè)直線y=

1

2

x+b交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，那么CD垂直平分AB．
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2b，即C（-2b，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=b，即D（0，b）．
則OC=2b，OD=b．
易證△ABE∽△CDO，故

BE

DO

=

AE

CO

，
∴BE=2AE，
∴直線AB為y=-2x+2，
∴根據(jù)題意得：

y=-2x+2 y=x2-2x+1

解得：

x=1 y=0

（不合題意，舍去）或

x=-1 y=4

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，4）．
∵拋物線F₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴設(shè)F₂的函數(shù)解析式為y=a（x+1）²+4．
又∵拋物線F₂經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），
∴F₂的函數(shù)解析式為0=a（1+1）²+4，
解得：a=-1，
∴F2：y=-x2-2x+3

（3）存在n使得tan∠BAP=

3

4

．理由如下：
如圖3，過點(diǎn)B作BF⊥AP于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線FG⊥x軸于點(diǎn)G，交BP于點(diǎn)H．
易證△BHF∽△FGA，則

BH

GF

=

HF

GA

=

BF

FA

=

3

4

，又FG+FH=4，AG-BH=2，故可求得F(-

11

5

，

8

5

)，
故直線AF的解析式為y=-

1

2

x+

1

2

，
又由于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，故P（-7，4），得n=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)等．解答（3）題，注意構(gòu)造相似三角形的輔助線的作法．