Question

我們在幾何的學習中能發現，很多圖形的性質定理與判定定理之間有著一定的聯系．例如：菱形的性質定理“菱形的對角線互相垂直”和菱形的判定定理“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”就是這樣．但是課本中對菱形的另外一個性質“菱形的對角線平分一組對角”卻沒有給出類似的判定定理，請你利用如圖所示圖形研究一下這個問題．
要求：如果有類似的判定定理，請寫出已知、求證并證明．如果沒有，請舉出反例．

Answer 1

答：有判定定理．
已知：在平行四邊形ABCD中，對角線AC平分∠DAB和∠DCB
求證：四邊形ABCD是菱形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四邊形ABCD是菱形．
分析：有判定定理，可把命題“菱形的對角線平分一組對角”的題設作為已知，把結論作為求證的結果，再利用已有的證明四邊形為菱形的方法證明即可．
點評：本題考查平行四邊形的性質和菱形的判定方法，解題的關鍵是熟記各種特殊四邊形的性質和其判定方法．