Question

24、如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，有下面四個結論：
①點P在∠BAC的平分線上；
②AS=AR；
③QP∥AR；
④△BRP≌△QSP
（1）判斷上面結論中

①②③④

是正確的；
（2）選擇其中一個證明．

Answer 1

分析：根據角平分線的判定定理知，①正確；根據已知，易證△ARP≌△ASP，所以AS=AR；根據等腰三角形的性質知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，內錯角相等，所以PQ∥AR；根據①②③的結論，易證④正確．

解答：解：（1）①正確，∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴點P在∠A的平分線上；AQ=PQ．
②正確，∵點P在∠A的平分線上，
∴△ARP≌△ASP．
∴AS=AR．
③正確，∵點P在∠A的平分線上；
∴∠2=∠3．
又∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴QP∥AR．
④∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C．
又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠BRP=∠CSP．
又∵BP=CP，
∴△BRP≌△QSP．
故答案為①②③④．

點評：充分利用等邊三角形三個角相等、三線合一等性質，找到圖中相等的量，再根據角平分線的性質、平行線的判定等知識進行判定．