Question

(本小題滿分9分)

如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點A的坐標為(－2，0)．

⑴求線段AD所在直線的函數表達式．

⑵動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒．求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？

 

Answer 1

 

（1）

（2）t=2

解析:解：⑴∵點A的坐標為(－2，0)，∠BAD=60°，∠AOD=90°，

∴OD=OA·tan60°=，

∴點D的坐標為（0，），  1分

設直線AD的函數表達式為，

，解得，

∴直線AD的函數表達式為.    3分

⑵∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DCB=∠BAD=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

  AD=DC=CB=BA=4，   5分

如圖所示：

①點P在AD上與AC相切時，

AP1=2r=2，

∴t1=2.     6分

 

②點P在DC上與AC相切時，

CP2=2r=2，

∴AD+DP2=6，

∴t2=6.     7分

③點P在BC上與AC相切時，

CP3=2r=2，

∴AD+DC+CP3=10，

∴t3=10.    8分

④點P在AB上與AC相切時，

AP4=2r=2，

∴AD+DC+CB+BP4=14，

∴t4=14，

∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切. 9分