Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠A=45°，AB=6，AC=，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的點，則△DEF周長的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作E關于AB的對稱點，作E關于AC的對稱點N，連接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由對稱性可知：DE=DM，FE=FN，AE=AM=AN，推出△DEF的周長DE+EF+FD=DM+DF+FN，推出當點E固定時，此時△DEF的周長最小，再證明△MNA是等腰直角三角形，推出MN=AE，推出當AE的值最小時，MN的值最小，求出AE的最小值即可解決問題；

解：如圖，作E關于AB的對稱點，作E關于AC的對稱點N，連接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．

由對稱性可知：DE=DM，FE=FN，AE=AM=AN，

∴△DEF的周長DE+EF+FD=DM+DF+FN，

∴當點E固定時，此時△DEF的周長最小，

∵∠BAC=45°，∠BAE=∠BAM，∠CAE=∠CAN，

∴∠MAN=90°，

∴△MNA是等腰直角三角形，

∴MN=AE，

∴當AE的值最小時，MN的值最小，

∵AC=4，

∴AK=KC=4，

∵AB=6，

∴BK=AB-AK=2，

在Rt△BKC中，∵∠BKC=90°，BK=2，CK=4，

∴BC==2，

∵BCAH=ABCK，

∴AH=，

根據垂線段最短可知：當AE與AH重合時，AE的值最小，最小值為，

∴MN的最小值為，

∴△DEF的周長的最小值為．

故答案為．