Question

某賓館有若干間住房，住宿記錄提供了如下信息：
（1）4月17日全部住滿，一天住宿費收入為12000元；
（2）4月18日有20間房空著，一天住宿費收入為9600元；
（3）該賓館每間房每天收費標準相同．
①一個分式方程，求解該賓館共有多少間住房，每間住房每天收費多少元？
②通過市場調查發現，每間住房每天的定價每增加10元，就會有5個房間空閑；己知該賓館空閑房間每天每間支出費用10元，有顧客居住房間每天每間支出費用20元，問房價定為多少元時，該賓館一天的利潤為11000元？（利潤=住宿費收入-支出費用）
③在（2）的計算基礎上，你能發現房價定為多少元時，該賓館一天的利潤最大？請直接寫出結論．

Answer 1

分析：①設每間住房每天收費x元，由信息（1）可知該賓館共有住房

12000

x

間，由信息（2）可知該賓館有顧客居住的房間

9600

x

間，根據該賓館的住房間數不變列出分式方程，求解即可；
②根據利潤的計算方法，設每間房的房價為y元，分別表示每間利潤和住房間數及支出費用，根據該賓館一天的利潤為11000元得方程求解；
③設房價定為每間a元時，該賓館一天的利潤為w元，根據利潤的計算方法，列出w關于a的函數關系式，再根據函數的性質即可求解．

解答：解：①設每間住房每天收費x元，根據題意，得

12000

x

=

9600

x

+20，
解得x=120，
經經驗，x=120是原方程的根．
12000÷120=100．
答：該賓館共有100間住房，每間住房每天收費120元；

②設每間房的房價為y元，根據題意，得
（y-20）（100-

y-120

10

×5）-10×

y-120

10

×5=11000，
解得：y₁=160，y₂=170．
答：房價定為160元或170元時，該賓館一天的利潤為11000元；

③設房價定為每間a元時，該賓館一天的利潤為w元，根據題意，得
w=（a-20）（100-

a-120

10

×5）-10×

a-120

10

×5
=-

1

2

a²+165a-2600
=-

1

2

（a-165）²+11012.5，
∴當房價定為165元時，該賓館一天的利潤最大，為11012.5元．

點評：本題考查了分式方程的應用以及二次函數的應用，運用二次函數知識求最值問題，常常用公式法或配方法求解．