Question

已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，DE⊥BC于點E，求證：DE=

1

2

（AD+BC）

Answer 1

分析：過D作DF∥AC交BC延長線于F．由四邊形ABCD為等腰梯形和AD∥BC，AC⊥BD推出DF⊥BD，再利用DE⊥BC可知DE是Rt△BDF的中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證得．

解答：證明：過D作DF∥AC交BC延長線于F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACFD為平行四邊形．
∴CF=AD，DF=AC．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴BD=AC=DF．
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD．
∴△DBF為等腰直角三角形．
∵DE⊥BC，
∴DE=

1

2

BF=

1

2

（CF+BC）=

1

2

（AD+BC）．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，此題的難度不大．