Question

在直角坐標系中，拋物線y=-

1

2

x²+mx-n與x軸交于A、B兩點．與y軸交于C點．已知A、B兩點都在x軸負半軸上（A左B右），△AOC與△COB相似，且tan∠CBO=4tan∠BCO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=nx交于D．以D為圓心，作與x軸相切的圓，交y軸于M、N兩點．求劣弧MN所對的弓形面積；
（3）在y軸上是否存在一點F，使得FD+FA的值最小，若存在，求出△ABF的面積，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x=0時，得點C（0，-n），由tan∠CBO=4tan∠BCO，得點B（-

n

2

，0），根據△AOC與△COB相似，得點A（-2n，0），然后把A，B兩點的坐標代入拋物線，求出拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸為x=-

5

2

，直線y=2x，求出點D的坐標，確定圓的半徑，利用垂徑定理得到M，N的坐標，然后求出弓形的面積．
（3）求出點D關于y軸的對稱點E的坐標，連接AE交y軸于點F，求出點F的坐標，計算出△ABF的面積．

解答：解：（1）當x=0時，y=-n，
∴C（0，-n）．
∵tan∠CBO=

OC

OB

，tan∠BCO=

OB

OC

，
∴

OC

OB

=4

OB

OC

∴OC=2OB
∴B（-

n

2

，0）
∵△AOC∽△COB
∴OC²=OA•OB
∴A（-2n，0）
把A，B兩點的坐標代入拋物線得：

- 1 2 •  n2 4 -m• 1 2 n-n=0 - 1 2 •4n2-2mn-n=0

解方程組得：

m=- 5 2 n=2

所以拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²-

5

2

x-2；

（2）拋物線的對稱軸為：x=-

5

2

，
y=2x，
∴D（-

5

2

，-5），
如圖：連接DM，DN，過點D作DH⊥MN于H，
則：DM=5，DH=

5

2

，
∴∠MDH=60°，
∴∠MDN=120°
S_弓形=S_扇形MDN-S_△MDN
=

1

3

π•25-

1

2

•

5

2

•5

3

=

25π

3

-

24 3

4

；

（3）點D關于y軸的對稱點E（

5

2

，-5）
點A（-4，0），
AE的解析式為：y=-

10

13

x-

40

13

∴F（0，-

40

13

）
S_△ABF=

1

2

AB•OF=

1

2

•3•

40

13

=

60

13

．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）用待定系數法確定拋物線的解析式，（2）數形結合，確定圓的半徑和扇形的圓心角，計算弓形的面積，（3）根據對稱性確定點F的坐標，然后求出三角形的面積．