Question

拋物線y=x²-4x+k與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C（0，6），動點P在該拋物線上．
（1）求k的值；
（2）當△POC是以OC為底的等腰三角形時，求點P的橫坐標；
（3）如圖，當點P在直線BC下方時，記△POC的面積為S₁，△PBC的面積為S₂．試問S₂-S₁是否存在最大值？若存在，請求出S₂-S₁的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點C的坐標代入已知函數解析式y=x²-4x+k來求k的值；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性質可知，點P是線段OC的垂直平分線與拋物線的交點；
（3）需要分類討論，如圖2、圖3，根據點P所處的位置不同，可求得S₂-S₁=-m²+6m=-（m-2）²+6，然后由拋物線的開口方向，頂點坐標可以求得它的最值．
解答：解：（1）⊙拋物線y=x²-4x+k經過點C（0，6）
∴×0²-4×0+k=6
解得k=6；

（2）如圖1，過OC的中點D作y軸的垂線，當△POC是以OC為底的等腰三角形時，由OD=×6=3可知，點P的縱坐標為3．
由（1）可知，拋物線的解析式為y=x²-4x+6，
令y=3得x²-4x+6=3，解得x=4
∴點P的橫坐標為4；

（3）∵由（1）可知，拋物線的解析式為y=x²-4x+6
令x=0，得y=6；令y=0，得x²-4x+6=0，
解得 x₁=2，x₂=6．
∴點A、B、C坐標分別為（2，0）、（6，0）、（0，6），則OA=2，OB=OC=6  
設點P為（m，m²-4m+6），當點P在直BC下方時0＜m＜6，
過點P作PE⊥y軸于E，作直PG⊥x軸于G．
當2≤m＜6時，如圖2，
PE=m，PG=m²+4m-6，S₂=S_{四邊形COPB}-S_△POC，
∵S_{四邊形COPB}=S_△BOC+S_△POB=×OB×（OC+PG）=-m²+12m，
2S₁=OC×PE=6
∴S₂-S₁=S_{四邊形COPB}-2S₁
=-+12m-6m=-m²+6m；
當0＜m＜2時，如圖3．
PE=m，PG=m²+4m-6，S₂=S_△BOC+S_△POB-S₁
同理可求S₂-S₁=-m²+6m 
綜上所述，當0＜m＜6時，S₂-S₁=-m²+6m=-（m-2）²+6．
∵拋物線S₂-S₁=-（m-2）²+6的開口方向向下，
∴當m=2時，它有最大值．
∵m=2滿足0＜m＜6，
∴當m=2時，S₂-S₁存在最大值6．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質、待定系數法求二次函數解析式以及三角形面積的求法．解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解或錯解．