Question

【題目】已知，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB=EF=6，如圖1，D是斜邊AB的中點，將等腰Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°<α<90°），在旋轉過程中，直線DE，AC相交于點M，直線DF，BC相交于點N．

（1）如圖1，當α=60°時，求證：DM=BN；

（2）在上述旋轉過程中，的值是一個定值嗎？請在圖2中畫出圖形并加以證明；

（3）如圖3，在上述旋轉過程中，當點C落在斜邊EF上時，求兩個三角形重合部分四邊形CMDN的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），是一個定值；（3）

【解析】

（1）利用ASA證，從而得出；

（2）如下圖，先證，得出，然后在，利用tan∠B得出的值，最后得出的值；

（3）如下圖，先證點C是EF的中點，然后利用平分可推導出四邊形為正方形，從而得出，進而得出面積．

解：（1）由題意，∵，，∴，

∴，，

∵點是斜邊的中點，∴，

∴，∴．

（2），是一個定值．

證明：如圖1，作于點，于點，∴，

又∵，∴，

∴，∴，

在中，，∴tan∠B

又由（1）可知：，

∴，

∴．

（3）連接，作于點，于點，

在中，點是的中點，∴，

∵，∴，∵，∴是中點，

∴平分，，

∵，，∴，

∵，

∴四邊形為正方形，，

∴，∴，

∴四邊形正方形．