Question

（2013•海門市一模）已知，如圖，∠MON=60°，點A、B為射線OM，ON上的動點，且AB=4

3

，在∠MON的內部、△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°．則線段OP的取值范圍是

4≤OP≤8

．

Answer 1

分析：如圖，由條件可以得出AOBP四點共圓，當OP是圓的直徑時OP的值最大，當點O與點A或點B重合時OP的值最小，通過解直角三角形就可以求出結論．

解答：解：∵∠MON=60°，∠APB=120°，
∴∠MON+∠APB=180°，
∴四邊形APBO四點共圓．
∴當OP為直徑時，OP最大，
∴∠OAP=90°．
∵AP=BP，
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°，∠PAB=∠PBA=30°，AD=BD=

1

2

AB=2

3

，
∴∠APO=60°，
∴∠ADP=90°．
∴AP=2DP
在Rt△ADP中，由勾股定理，得
DP=2，
∴AP=4．
∵∠AOP=30°，
∴OP=2AP，
∴OP=8．
當點O與頂A重合時，OP最小．作PD⊥AB于點D．
∵AP=BP，
∴AD=

1

2

AB=2

3

．
∵∠APB=120°，
∴∠PAD=30°，
∴AP=2DP．
在Rt△ADP中，由勾股定理，得
DP=2，
∴AP=4，
即OP=4．
∴OP的取值范圍是：4≤OP≤8．

點評：本題考查了等腰三角形的性質的運用，垂徑定理的性質的運用，勾股定理的運用，四點共圓定理的運用，解答時運用等腰三角形的性質及垂徑定理求解是關鍵．