Question

某校園內有一人行道上鑲嵌著如圖①所示的水泥方磚，磚面上的小溝槽（如圖②）EA、HD、GC、FB分別是方磚TPQR四邊的中垂線，四邊形HEFG是正方形，現請你根據上述信息解答下列問題．

（1）方磚TPQR面上的圖案______
A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
C．是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
（2）若要使方磚TPQR的面積是正方形HEFG面積的9倍，求當方磚邊長為24厘米時，小溝槽EA的長是多少．

Answer 1

解：（1）通過圖象觀察和題意EA、HD、GC、FB分別是方磚TPQR四邊的中垂線，且四邊形HEFG是正方形就可以得出方磚TPQR面上的圖案是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．


（2）設小溝槽EA的長是xcm，則EG的長度為24-2x．
∵四邊形HEFG是正方形，
∴HE=HG，∠GHE=90°，
∴HE²+HG²=EG²．
∴2HE²=（24-2x）²，
∴HE²=2x²-48x+288．
∵，
∴，
解得：x₁=12+4（舍去），x₂=12-4．
∴EA=12-4．
故答案為：C．
分析：（1）由圖象和題意可以得出方磚TPQR面上的圖案是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
（2）設小溝槽EA的長是xcm，則EG的長度為24-2x，由勾股定理就可以表示出HE，由相似形的面積比等于相似比的平方建立方程求出其解即可．
點評：本題考查了一元二次方程的運用，軸對稱圖象的運用，中心對稱圖象的運用，相似形的性質的運用，解答時運用相似圖形的性質建立建立方程是關鍵．