Question

【題目】如圖，二次函數y=kx2+2kx﹣3k（k≠0），的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OC=OA．

（1）點A坐標為　 　，點B坐標為　 　，拋物線的解析式為　 　；

（2）若點P是第二象限內拋物線上的一個動點，連接AP、CP，當四邊形ABCP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）若點Q（0，m）是y軸上的動點，連接AQ、BQ，

①當∠AQB是鈍角時，求m的取值范圍；

②當∠AQB=60°時，則m=　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，0），（1，0），y=﹣x2﹣2x+3（2）（，）（3）或-

【解析】

（1）先將y=kx2+2kx﹣3k因式分解的y=k（x+3）（x﹣1），求出與x軸的交點,再根據OC=OA，求出k，即可；

（2）先求出△ABC的面積是=6，再跟據四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACP的面積，得出當四邊形ABCP的面積最大時，即△ACP的面積最大即可，設點P的坐標為（p，﹣p2﹣2p+3），設過點A（﹣3，0），點C（0，3）的直線解析式為y=dx+e，最后列出△ACP的面積關系式即可；

（3）①如右圖2所示，當∠AQB=90°時，根據AQ2+BQ2=AB2，解得m=，所以當∠AQB是鈍角時，m的取值范圍是﹣＜m＜時；

②作AH⊥QB于H，根據∠AHQ=90°，∠AQH=60°，得AH=AQ，QH=，得AH=，QH=，AB=4，根據AH2+BH2=AB2，解得，m=或m=﹣.

（1）∵y=kx2+2kx﹣3k=k（x2+2x﹣3）=k（x+3）（x﹣1），

∴當y=0時，x=﹣3或x=1，當x=0時，y=﹣3k，

∴點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），OC=﹣3k，OA=3，

∵OA=OC，

∴﹣3k=3，

∴k=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=y=﹣x2﹣2x+3，

故答案為：（﹣3，0），（1，0），y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如右圖1所示，

∵點A（﹣3，0），點B（1，0），點C（0，3），

∴△ABC的面積是=6，

∵四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACP的面積，

∴當四邊形ABCP的面積最大時，即△ACP的面積最大即可，

設點P的坐標為（p，﹣p2﹣2p+3），

設過點A（﹣3，0），點C（0，3）的直線解析式為y=dx+e，

，得，

∴直線AC的解析式為y=x+3，

當x=p時，y=p+3，

∴△ACP的面積是； =﹣（p+）2+，

∴當p=時，△ACP的面積最大，

∴點P（，）；

（3）①如右圖2所示，

當∠AQB=90°時，

∵點A（﹣3，0），點B（1，0），點Q（0，m），

∴AQ2+BQ2=AB2，

∴[（﹣3）2+m2]+[12+m2]=[1﹣（﹣3）]2，

解得，m=，

∴當∠AQB是鈍角時，m的取值范圍是﹣＜m＜時

②作AH⊥QB于H，

∵∠AHQ=90°，∠AQH=60°，

∴AH=AQ，QH=，

∵點A（﹣3，0），點Q（0，m），點B（1，0），

∴AH=，QH=，AB=4，

∵AH2+BH2=AB2，

=42，

解得，m=或m=﹣，

故答案為：或﹣．