Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過三點．
【小題1】求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標；v
【小題2】在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點
坐標；若不存在，請說明理由；v
【小題3】試探究在直線上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，求
出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】拋物線的解析式為 ，頂點
【小題2】見解析。
【小題3】見解析。解析:
解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點．
， ， ……………………（2分）
點都在拋物線上，
  ……………………（4分）
拋物線的解析式為 ，頂點 …………（6分）
（2）存在， 。……………………（8分）
（3）存在……………………（9分）
理由：解法一：

延長到點，使，連接交直線于點，則點就是所求的點．
過點作于點．
點在拋物線上，
在中，，
，， 在中，，
，， ……………………（12分）
設直線的解析式為
  解得  ………………（13分）
  解得 
在直線上存在點，使得的周長最小，此時． …14分

解法二：
過點作的垂線交軸于點，則點為點關于直線的對稱點．連接交于點，則點即為所求．
過點作軸于點，則，．
，

同方法一可求得．
在中，，，可求得，
為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，
垂直平分．
即點為點關于的對稱點．……………………（12分）
設直線的解析式為，由題意得
  解得     ……………………（13分）
  解得 
在直線上存在點，使得的周長最小，此時．