Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．AH為等腰梯形的高．
（1）求AH的長？
（2）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（4）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意即可推出BH=（BC-AD）÷2，然后根據(jù)勾股定理，即可推出高AH的長度；
（2）根據(jù)題意畫出BE的高FM，然后，推出梯形周長的一半（即12），即可知BF=12-x，通過求證△FBM∽△ABH，即可推出高FM關于x的表達式，最后根據(jù)三角形的面積公式，即可表示出△BEF的面積；
（3）通過計算等腰梯形的面積，即可推出其一半的值，然后結合結論（2）即可推出結論；
（4）首先提出假設成立，然后，分情況進行討論，①若當BE+BF=8，△BEF的面積=

1

3

S_{等腰梯形ABCD}=

28

3

，根據(jù)題意列出方程，求出x；②若當BE+BF=16，△BEF的面積=

2

3

S_{等腰梯形ABCD}=

56

3

時，根據(jù)題意列出方程，求出x，最后即可確定假設不成立，即可推出結論．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BC-AD）÷2=3，
∴AH=

AB2-BH2

=4；

（2）作FM⊥BC于M．
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周長=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12-x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴

12-x

5

=

FM

4

，
∴FM=

48-4x

5

，
∴△BEF的面積=

48-4x

5

•x•

1

2

=-

2

5

x2+

24

5

x；

（3）假設線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面積的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵當線段EF將等腰梯形ABCD的周長平分時，△BEF的面積關于x的函數(shù)表達式為-

2

5

x2+

24

5

x，
∴14=-

2

5

x2+

24

5

x，
∴整理方程得：-x²+12x-35=0，
∵△=b²-4ac=144-140=4＞0，
解方程得：x₁=5，x₂=7，
∵當x₁=5，BF=7＞AB，
∴x₁=5，不符合題意，舍去，
∴當x=7時，線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分；

（4）假設存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分．
∵等腰梯形ABCD的周長=24，等腰梯形ABCD的面積=28，
則①若當BE+BF=8，△BEF的面積=

1

3

S_{等腰梯形ABCD}=

28

3

，
∵BE=x，
∴BF=8-x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴

8-x

5

=

FM

4

，
∴FM=

32-4x

5

，
∴△BEF的面積=-

2

5

x2+

16

5

x，
當

1

3

_{梯形ABCD的面積}=

28

3

時，
∴

28

3

=-

2

5

x2+

16

5

x，
整理方程得：-3x²+24x-70=0，
∵△=-264＜0，故方程無實數(shù)解，
∴此種情況不存在，
②若當BE+BF=16，△BEF的面積=

2

3

S_{等腰梯形ABCD}=

56

3

時，
∴FM=

64-4x

5

，
∴△BEF的面積=-

2

5

x2+

32

5

x，
∴

56

3

=-

2

5

x2+

32

5

x，
整理方程得：-3x²+48x-140=0，
△=b²-4ac=624，
解方程得：x₁=

24-2 39

3

，x₂=

24+2 39

3

（舍去），
∴x=

24-2 39

3

．
∴當x=

24-2 39

3

時，線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質、勾股定理、一元二次方程的應用、解直角三角形，關鍵在于正確的推出FM的長度，和推出用x表示△BEF的面積．