Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1﹚求證：直線CD與⊙O相切于點C；
（2﹚如果AD和AC的長是一元二次方程的兩根，求AD、AC、AB的長和∠DAB的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD與DC垂直得到一對角互余，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，由AC為角平分線得到一對角相等，等量代換得到∠CAD=∠ACO，可得出∠ACD+∠ACO=90°，即OC垂直于CD，即可得到CD為圓的切線，得證；
（2）求出已知方程的解，根據斜邊大于直角邊得到AC大于AD，得到AD與AC的長，利用勾股定理求出CD的長，可得出CD等于斜邊的一半，得出∠CAD=30°，∠BAD=60°，可得出∠CAB=30°，在直角三角形ABC中，設BC=x，則有AB=2x，由AC的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長．
解答：（1）證明：連接OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
又AC平分∠DAB，
∴∠CAB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACO，
∴∠ACD+∠ACO=90°，即OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切線；

（2）解：方程x²-（2+）x+2=0，即（x-2）（x-）=0，
解得：x₁=，x₂=2，
∵AD＜AC，∴AD=，AC=2，
∴CD==1，
∵CD=AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠AAB=60°，
連接BC，
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，
設BC=x，則AB=2x，
∴x²+2²=（2x）²，
∵x＞0，
∴x=，
則AB=．
點評：此題考查了切線的判定，勾股定理，以及解一元二次方程-因式分解法，其中切線的判定方法有兩種：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于圓的半徑．