Question

（2007•開封）已知：⊙O₁與⊙O₂相交于點A、B，過點B作CD⊥AB，分別交⊙O₁和⊙O₂于點C、D．
（1）如圖，求證：AC是⊙O₁的直徑；
（2）若AC=AD，
①如圖，連接BO₂、O₁O₂，求證：四邊形O₁C BO₂是平行四邊形；
②若點O₁在⊙O₂外，延長O₂O₁交⊙O₁于點M，在劣弧上任取一點E（點E與點B不重合），EB的延長線交優弧于點F，如圖所示，連接AE、AF，則AE______AB（請在橫線上填上“≥、≤、＜、＞”這四個不等號中的一個）并加以證明．（友情提示：結論要填在答題卡相應的位置上）

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD⊥AB易得AC是⊙O₁的直徑（圓內直角所對的弦是直徑）；
（2）根據中位線定理求得O₁O₂∥CD且O₁O₂=CD=CB，所以四邊形O₁CBO₂是平行四邊形；
（3）可分兩種情況：當點E在劣弧上（不與點C重合）時，當點E在劣弧上（不與點B重合）時，證得AE＞AB．
解答：（1）證明：∵CD⊥AB，（1分）
∴∠ABC=90°．（2分）
∴AC是⊙O₁的直徑．（3分）

（2）①證明：∵CD⊥AB，
∴∠ABD=90°．
∴AD是⊙O₂的直徑．（4分）
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．（5分）
∵O₁、O₂分別是AC、AD的中點，
∴O₁O₂∥CD且O₁O₂=CD=CB．（6分）
∴四邊形O₁CBO₂是平行四邊形．（7分）
②解：AE＞AB，（8分）
當點E在劣弧上（不與點C重合）時，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB．
∴AE=AF．（9分）
記AF交BD為G，
∵AB⊥CD，
∴AF＞AG＞AB．（10分）
當點E與點C重合時，AE=AC＞AB，
當點E在劣弧上（不與點B重合）時，設AE交CD與H，
AE＞AH＞AB．（11分）
綜上，AE＞AB．（12分）
點評：本題考查了兩圓的位置關系，是一個探究性性的題目，一定要分析各種情況，不要落漏．