Question

△ABC中，∠BAC=∠ACB。
（1）如圖，E是AB延長線上一點，連接CE，∠BEC的平分線交BC于點D，交AC于點P，求證：∠CPD=90°-∠BCE；（2）若E是射線BA上一點（E不與A、B重合），連接CE，∠BEC的平分線所在直線交BC于點D，交CA所在直線于點P，∠CPD與∠BCE有什么關系？請畫出圖形，給出你的結論，并說明理由。

Answer 1

（1）證明：∵EP平分∠BEC， ∴∠BEP=∠CEP．△ACE中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°， ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，且∠A=∠ACB， ∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°， ∴2（∠A+∠BEP）+∠BCE=180°， ∵∠CPD=∠A+∠BEP， ∴2∠CPD+∠BCE=180°， ∴∠CPD=90°-∠BCE； （2）結論：∠CPD=∠BCE， 理由如下：解：設∠CAB=∠ACB=α， ∵ED平分∠BEC，∴∠BED=∠CED， 設∠BED=∠CED=β， 則∠CEB=2β， 分兩種情況：i）若點E在BA上（E不與A、B重合， 如圖，∵∠ACE=∠ACB-∠BCE， ∴∠ACE=α-（2α-2β）=2β-α， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-（2β-α）=2α-2β， ∵∠CPD=∠CED-∠ACE， ∴∠CPD=β-（2β-α）=α-β， ∴∠CPD=∠BCE； ii）若E在BA的延長線上， 如圖，∵∠ACE=∠CAB-∠CEB， ∴∠ACE=α-2β， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+（α-2β）=2α-2β， ∵∠CPD=∠ACE+∠CEP， ∴∠CPD=α-2β+β=α-β， ∴∠CPD=∠BCE， 綜上，可知∠CPD=∠BCE。