Question

如圖，四邊形ABCD的四個頂點在⊙O上，且對角線AC⊥BD，OE⊥BC于E，求證：OE=AD．

Answer 1

【答案】分析：連接CO并延長交⊙O于P，連接AP、BP，由垂徑定理得點E是BC的中點，OE是△BCP的中位線，OE=BP，求出AP∥BD，利用圓周角定理得到弧PB=弧AD，得出AD=BP，從而得到OE=AD．
解答：證明：
連接CO并延長交⊙O于P，連接BP、AP，
∵CP是直徑，
∴∠PBC=∠PAC=90°，
∵OE⊥BC，OE過圓心O，
∴BE=CE，
∵PO=OC，
∴OE=BP，
∵∠PAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵BD⊥AC，
∴PA∥BD，
∴弧BP=弧AD（平行弦所夾的弧相等）
∴BP=AD，
即OE=BP=AD．
點評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，圓周角定理，三角形的中位線的性質求解．