Question

【題目】如圖，將正方形ABCO繞點A順時針旋轉一定角度，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數；并判斷線段OG、PG、BP之間的數量關系，說明理由；

（3）若正方形ABCO的邊長為，∠1=∠2，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP（3）AH=2，AP=

【解析】試題分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可證△AOG≌△ADG；（2）利用（1）的方法，同理可證△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度數；根據兩對全等三角形的性質，可得出線段OG、PG、BP之間的數量關系；（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，當∠1=∠2時，可證∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，確定P、G兩點坐標，得出直線PE的解析式,進而可求出AP的長.

試題解析：

（1）由題意得，AO=AD，∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，∴△AOG≌△ADG.

（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP.

理由如下：

由（1）同理可證△ADP≌△ABP，則∠DAP=∠BAP，DP=BP，

∵由（1）△AOG≌△ADG，

∴∠1=∠DAG，DG=OG，

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°，

即∠DAG+∠DAP=45°，

∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，

PG=DG+DP=OG+BP.

（3）∵△AOG≌△ADG，

∴∠AGO=∠AGD，

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，

∴∠1=∠2=30°，

在Rt△AOG中，AO=，OG=AOtan30°=+1，AG=2+2，

在Rt△AOG中，CG=2，PG=4，

作PH⊥AG于H，在Rt△PHG中，HG=2，PH=2，在Rt△APH中，AH=2，AP=．