Question

【題目】AB為⊙O直徑，C為⊙O上的一點，過點C的切線與AB的延長線相交于點D，CA＝CD．

（1）連接BC，求證：BC＝OB；

（2）E是中點，連接CE，BE，若BE＝2，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1+．

【解析】

（1）連接OC，根據圓周角定理、切線的性質得到∠ACO=∠DCB，根據CA=CD得到∠CAD=∠D，證明∠COB=∠CBO，根據等角對等邊證明；
（2）連接AE，過點B作BF⊥CE于點F，根據勾股定理計算即可．

（1）證明：連接OC，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CD為⊙O切線

∴∠OCD＝90°，

∴∠ACO＝∠DCB＝90°﹣∠OCB，

∵CA＝CD，

∴∠CAD＝∠D．

∴∠COB＝∠CBO．

∴OC＝BC．

∴OB＝BC；

（2）連接AE，過點B作BF⊥CE于點F，

∵E是AB中點，

∴，

∴AE＝BE＝2．

∵AB為⊙O直徑，

∴∠AEB＝90°．

∴∠ECB＝∠BAE＝45°，，

∴．

∴CF＝BF＝1．

∴．

∴．