Question

已知，AD為△ABC（AB＞AC）的角平分線，AD的垂直平分線和BC的延長線交于點E，設CE=a，DE=b，BE=c．求證：關于x的二次方程ax²-2bx+c=0有兩個相等的實根．

Answer 1

分析：連接EA，由已知中AD為∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF與AD交于點F，與BC的延長線交于點E，可證得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性質，可得AE²=CE•BE，再利用根與系數關系，即可得到答案．

解答：解：連接EA，如下圖所示：
∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，∠EAD=∠EDA．
即∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD．
又∠CAD=∠BAD．
故∠EAC=∠B；又∠AEC=∠BEA．
∴△ABE∽△CAE．
∴AE²=CE•BE，
∵設CE=a，DE=b，BE=c．
∴b²=a•c，
∴b²-a•c=0，
∵ax²-2bx+c=0，
△=（2b）²-4ac=4（b²-a•c）=0，
∴關于x的二次方程ax²-2bx+c=0有兩個相等的實根．

點評：此題考查了相似三角形的性質以及根與系數的關系，根據已知得出△ABE∽△CAE是解答本題的關鍵．