Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象相交于A，B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，點D的坐標為（-2，0），點A的橫坐標是2，tan∠CDO=

1

2

．
（1）求點A的坐標；
（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）過A作AE⊥x軸于E，由D、E坐標可以得到OD=OE，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠ADE=

AE

DE

，而tan∠CDO=tan∠ADE=

1

2

，由此利用已知條件可以求出AE，也就求出A的坐標；
（2）首先利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)y=

k

x

的k值，然后根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b過A（2，2），D（-2，0），也利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（3）由反比例函數(shù)和直線有交點得到

4

x

=

1

2

x+1，解方程即可求出B的坐標，然后利用割補法就可以得到S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，利用已知條件即可解決問題．

解答：解：（1）過A作AE⊥x軸于E
∵D（-2，0），E（2，0），
∴OD=OE，
∵Rt△AED中，∠AED=90°，
∴tan∠ADE=

AE

DE

，
∵tan∠CDO=tanADE=

1

2

，OD=2，OE=2，
∴AE=DE•tan∠ADE=

1

2

×4=2，
∴A（2，2）；

（2）∵反比例函數(shù)y=

k

x

過點A（2，2），
∴k=4，
∴y=

4

x

，
∵一次函數(shù)y=ax+b過A（2，2），D（-2，0），
∴

2a+b=2 -2a+b=0

，
∴

a= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x+1；

（3）∵

4

x

=

1

2

x+1，
∴x²+2x-8=0，
∴（x+4）（x-2）=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∴B（-4，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1=3．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，然后利用三角形的面積公式、面積的割補法及解一元二次方程即可解決問題．