Question

如圖，已知二次函數y=-x²+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0=-9+3b+c 3=c

，
解得

b=2 c=3

1分
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
設直線MB的解析式為y=kx+n，
則有

4=k+n 0=3k+n

解得

k=-2 n=6

∴直線MB的解析式為y=-2x+6
∵PQ⊥x軸，OQ=m，
∴點P的坐標為（m，-2m+6）
S_{四邊形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=

1

2

AO•CO+

1

2

（PQ+CO）•OQ（1≤m≤3）
=

1

2

×1×3+

1

2

（-2m+6+3）•m=-m²+

9

2

m+

3

2

；

（3）線段BM上存在點N（

7

5

，

16

5

），（2，2），（1+

10

5

，4-

2 10

5

）使△NMC為等腰三角形
CM=

(1-0)2+(4-3)2

=

2

，CN=

x2+(-2x+3)2

，MN=

(x-1)2+(-2x+2)2

①當CM=NC時，

x2+(-2x+3)2

=

2

，
解得x₁=

7

5

，x₂=1（舍去）
此時N（

7

5

，

16

5

）
②當CM=MN時，

(x-1)2+(-2x+2)2

=

2

，
解得x₁=1+

10

5

，x₂=1-

10

5

（舍去），
此時N（1+

10

5

，4-

2 10

5

）
③當CN=MN時，

x2+(-2x+3)2

=

(x-1)2+(-2x+2)2

解得x=2，此時N（2，2）．