Question

如圖，拋物線E：y=x²+4x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于M點，拋物線E關于y軸對稱的拋物線F交x軸于C、D兩點．
（1）求F的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線F或E上是否存在一點N，使以A、C、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若將拋物線E的解析式改為y=ax²+bx+c，試探索問題（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，可求出拋物線E與x軸的兩個交點坐標，再令x=0，可求出與y軸的交點M，可以得到這三點關于y軸對稱的點，設拋物線F的解析式是y=ax²+bx+3，直接把AB的對稱點的坐標代入F的解析式，即可求出F的解析式．
（2）若使以A、C、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，那么應有MN∥AC，即N，M兩點的縱坐標相同，可將M點的總坐標代入兩拋物線的解析式中求出N點的坐標，然后看MN是否與AC的長相等即可判斷出是否存在符合條件的N點．
（3）同（2）一樣，也要先用代數式表示出A、C、M的坐標，然后用M的縱坐標求出N點的坐標，進而去比較MN和AC的長是否相等．
解答：解：（1）解法一：當y=0時，x²+4x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
∴A、B點坐標分別為（-3，0）、（-1，0）；
當x=0時，y=3，
∴M點坐標為（0，3），A、B、M三點關于y軸得對稱點分別是D、C、M，
∴D、C坐標為（3，0）、（1，0）；
設F的解析式為y=ax²+bx+3，則有：，
∴a=1，b=-4
∴拋物線F的解析式為y=x²-4x+3．
解法二：∵拋物線E與拋物線F關于y軸對稱，且拋物線E：y=x²+4x+3，
∴拋物線F的方程是：y=（-x）²+4×（-x）+3=x²-4x+3，即
拋物線F的解析式為y=x²-4x+3；

（2）存在．假設MN∥AC，
∴N點的縱坐標為3．
若在拋物線F上，當y=3時，3=x²-4x+3，則x₁=0，x₂=4
∴N點坐標為（4，3），
∴MN=4，
由（1）可求AC=4，
∴MN=AC，
∴四邊形ACNM為平行四邊形．
根據拋物線F和E關于y軸對稱，故N點坐標為（4，3）或（-4，3）．

（3）存在．假設MN∥AC，
∴N點的縱坐標為c．設y=0，
∴ax²+bx+c=0
∴，
∴A點坐標為（，0），
B點坐標為（，0）
∴C點坐標為（，0），
∴AC=
在拋物線E上，當y=c時，c=ax²+bx+c，x₁=0，x₂=
∴N點坐標為（，c）
NM=0-（）=，
∴NM=AC，
∴四邊形ACMN為平行四邊形．
根據拋物線F和E關于y軸對稱，故N點坐標為（，c）或（，c）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定，軸對稱圖形，平行四邊形的判定等知識點．