Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，過點E的直線EF與AB的延長線交于點F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）∠F=30°時，求

S△OFE

S四邊形AOEC

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等邊對等角可得出OE∥AC，則∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，則∠OEF=∠ACF=90°，從而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切線；
（2）由OE∥AC，則△OFE∽△AFC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，從而得出

S△OFE

S四邊形AOEC

的值．

解答：（1）證明：連接OE，
∵AE平分∠FAC，
∴∠CAE=∠OAE，
又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠OEF=∠ACF，
又∵AC⊥EF，
∴∠OEF=∠ACF=90°，
∴OE⊥CF，
又∵點E在⊙O上，
∴CF是⊙O的切線；

（2）解：∵∠OEF=90°，∠F=30°，
∴OF=2OE
又OA=OE，
∴AF=3OE，
又∵OE∥AC，
∴△OFE∽△AFC，
∴

OE

AC

=

OF

AF

=

2

3

，
∴

S△OFE

S△AFC

=

4

9

，
∴

S△OFE

S四邊形AOEC

=

4

5

．

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．