Question

如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF．
（1）求證：BF=2AE；
（2）若CD=1，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AD=BD，再根據同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AF，從而得證；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據AD=AF+DF代入數據即可得解．

解答：（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE AD=BD ∠ADC=∠BDF=90°

，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=1，
在Rt△CDF中，CF=

DF2+CD2

=

2

，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=

2

，
∴AD=AF+DF=1+

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，勾股定理的應用，以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．