Question

如圖，已知△BEC是等邊三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC，BD的交點為O．
（1）求證：△AEC≌△DEB；
（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2 cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）在△AEB和△DEC中，已知AE=DE，BE=CE，且夾角相等，根據邊角邊可證全等．
（2）由圖可知，在連接EO并延長EO交BC于點F，連接AD之后，整個圖形是一個以EF所在直線對稱的圖形．即△AEO和△DEO面積相等，只要求出其中一個即可，而三角形AEO面積=

1

2

•OE•FB，所以解題中心即為求出OE和FB，有（1）中結論和已知條件即可求解．

解答：（1）證明：∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，即∠AEC=∠DEB，
∵△BEC是等邊三角形，
∴CE=BE，
又AE=DE，
∴△AEC≌△DEB．

（2）解：連接EO并延長EO交BC于點F，連接AD．由（1）知AC=BD．
∵∠ABC=∠DCB=90°，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB∥DC，AB=

AC2-BC2

=

BD2-BC2

=CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形且是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵BE=CE，
∴OE所在直線垂直平分線段BC，
∴BF=FC，∠EFB=90°．
∴OF=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∵△BEC是等邊三角形，
∴∠EBC=60°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，
∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
∴BE=AB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，
∴BF=BE•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

，
EF=BE•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴OE=EF-OF=

3

2

-1=

1

2

，
∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，
∴△AOE≌△DOE．∴S_△AOE=S_△DOE
∴S_陰影=2S_△AOE=2×

1

2

•EO•BF=2×

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

4

（cm²）．

點評：考查綜合應用等邊三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性質，進行邏輯推理能力和運算能力．