Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，P是BC邊上一動點，QP⊥AP交CD于Q，設PB＝x，△ADQ的面積為y． (1) 求y與x之間的函數關系式 (2) 當P點運動到什么位置時，△ADQ的面積最大? (3) 點P是否存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ面積的?若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因為ABCD為正方形 　　所以∠ABP＝∠PCQ＝ 　　又因為QP⊥AP 　　所以∠APB＋∠QPC＝∠BAP＋∠APB＝ 　　所以∠BAP＝－∠QPC 　　所以△ABP∽△PCQ 　　所以＝ 　　所以＝ 　　所以CQ＝ 　　所以DQ＝4－CQ＝4－＝ 　　所以y＝AD·DQ＝×4× 　　即y＝x2－2x＋8(0≤x＜4)
(2)	顯然，當P與B重合時，Q與C重合，此時△ADQ的面積最大，S△ADQ最大＝S△ADC＝×4×4＝8，同理，當P與C重合時，S△ADQ最大＝8
(3)	解：因為S△ABP＝AB·BP＝×4×x＝2x，假沒存在滿足條件的點P，則2x＝，整理得x2－10x＋16＝0，解得x1＝2，x2＝8．因為x2＝8＞4，不符合題意，舍去，所以x＝2，故點P存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ面積的，此時，BP的長為2． 　　解題指導：要求△ADQ的面積y，與BP的長x之間的關系式，因為AD＝4．∠ADQ＝，所以只要建立DQ與BP的長x的關系式，因為不能找到△ABP與△ADQ相似的條件，而DQ＝4－CQ，PC＝4－BP＝4－x，所以只需證明△ABP∽△PCQ．