Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
（1）求證：△BED≌△CFD；
（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形DFAE是何特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的兩個底角相等，知∠B=∠C；由已知條件“DE⊥AB，DF⊥AC”知∠BED=∠CFD=90°；再根據“D為BC邊的中點”求得BD=CD；最后根據全等三角形的判定定理ASA判定△BED≌△CFD；
（2）根據已知條件“∠A=90°、DE⊥AB、DF⊥AC”判定∠BED=∠CFD=∠A=90°，所以四邊形DFAE為矩形；然后根據（1）的結論，由全等三角形的對應邊相等求得DE=DF，從而證明四邊形DFAE為正方形．
解答：（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°（1分）
∵D是BC的中點，
∴BD=CD（2分）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDB=∠FDC，
∴△BED≌△CFD（3分）

（2）解：∵∠BED=∠CFD=∠A=90°
∴四邊形DFAE為矩形．（4分）
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，（5分）
∴四邊形DFAE為正方形．（6分）
點評：本題綜合考查了正方形的判定、全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質．解答此題的關鍵是利用等腰三角形的兩個底角相等，從而證明Rt△BED和Rt△CFD中的兩個銳角對應相等．