Question

（2013•寧德質檢）如圖，已知矩形ABCD，動點E從點B沿線段BC向點C運動，連結AE、DE，以AE為邊作矩形AG，使邊FG過點D．
（1 ）求證：△ABE∽△AGD；
（2）求證：矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等；
（3）當AB=2

3

，BC=6時，
①求BE為何值時，△AED為等腰三角形？
②直接寫出點E從點B運動到點C時，點G所經過的路徑長．

Answer 1

分析：（1）易證∠B=∠G，∠BAE=∠DAG，以及有兩個角對應相等的三角形形似即可證得；
（2）依據相似三角形的性質可以的到AB•AD=AG•AE，即可證得；
（3）①分AE=AD，AE=ED，AD=ED三種情況進行討論，以及勾股定理和三線合一定理即可求得；
②G經過的路線是：以AD的中點為圓心，半徑是3，圓心角是120°的弧，依據弧長的計算公式即可求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形，
∴∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，
又∵∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE∽△AGD；

（2）證明：∵△ABE∽△AGD，
∴

AB

AG

=

AE

AD

，
∴AB•AD=AG•AE，
∴矩形AEFG與矩形ABCD的面積相等；

（3）解：①若△AED是等腰三角形，有一下三種情況．
當AE=AD=6時，AB²+BE²=AE²，
即（2

3

）²+BE²=6²，解得：BE=2

6

；
當AE=ED時，BE=

1

2

AD=

1

2

BC=3；
當AD=ED=6時，同第一種情況可得：EC=2

6

，則BE=6-2

6

；
綜上所述，當BE=2

6

或3或6-2

6

時，△AED是等腰三角形；
②點G經過的路線是：以AD的中點為圓心，半徑是3，圓心角是120°的弧，則路線長是：

120π×3

180

=2π．

點評：本題是矩形的性質、相似三角形的判定與性質以及弧長的公式，圓周角定理的綜合應用，理解定理是關鍵．