Question

已知：如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為4的⊙Q與y軸相切于點(diǎn)O，圓心Q在x軸的負(fù)半軸上．
（1）請直接寫出圓心Q的坐標(biāo)；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=-2mx+2m的圖象與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，且T在y軸上，OT=2，連接QT，∠OQT=∠OBA．
①求m的值；
②試問在y=-2mx+2m的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得⊙P與⊙Q、y軸都相切？若存在，請求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意易得圓心Q的坐標(biāo)為（-4，0）．
（2）首先證明△QOT∽△BOA，利用線段比求出m值，
求出m值后，然后分情況討論點(diǎn)P在y軸的位置（點(diǎn)P在y軸的左側(cè)；點(diǎn)P在y軸的右側(cè)）．

解答：解：（1）Q（-4，0）．

（2）
①如圖1，∵∠OQT=∠OBA，∠QOT=∠BOA，
∴△QOT∽△BOA，
∴

QO

OT

=

OB

OA

，
在y=-2mx+2m中，令x=0，則y=2m，OB=2m，
令y=0，則x=1，OA=1，
∴

4

2

=

2m

1

，解得m=1；
②由①得m=1，則直線AB的解析式為：y=-2x+2；
（i）若點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，如圖2，設(shè)⊙P的半徑為r（r＞0），
∵點(diǎn)P在直線上，∴點(diǎn)P（-r，2r+2）
連接PQ，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，作PC⊥x軸于點(diǎn)C，則四邊形PCOH是矩形．
∴PH=CO=r，PC=2r+2，CQ=4-r，
以P為圓心，PH的長為半徑作⊙P，則⊙P與⊙Q、y軸都相切．
∵⊙P與⊙Q外切，
∴PQ=r+4，
在Rt△PQC中，由勾股定理，得：PQ²=PC²+CQ²，
∴（r+4）²=（2r+2）²+（4-r）²
整理得：r²-2r+1=0，解得：r=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），
（ii）若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，顯然符合題意．
在y=-2x+2中，令y=0，則x=1．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）
綜上，存在符合條件的兩個點(diǎn)P，坐標(biāo)分別為（-1，4）或（1，0）．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)與圖象結(jié)合的綜合應(yīng)用，同時(shí)考生要注意借助輔助線的應(yīng)用，難度中上．