已知:二次函數y=-(x-h)2+k圖象的頂點P在x軸上,且它的圖象經過點A(3,-1),與y軸相交于點B,一次函數y=ax+b的圖象經過點P和點A,并與y軸的正半軸相交.
求:(1)k的值;
(2)這個一次函數的解析式;
(3)∠PBA的正弦值.
【答案】
分析:(1)根據二次函數y=-(x-h)
2+k圖象的頂點P在x軸上即可求出k的值;
(2)首先根據二次函數y=-(x-h)
2的圖象經過點A(3,-1),求出P點的坐標,然后利用待定系數法求出一次函數的解析式;
(3)點P的坐標為(2,0),點A的坐標為(3,-1),點B的坐標為(0,-4),求出BP、AP、AB的長度,利用勾股定理逆定理證明∠BAP=90°,進而求出∠PBA的正弦值.
解答:解:(1)∵二次函數y=-(x-h)
2+k圖象的頂點P在x軸上,
∴k=0.
(2)∵二次函數y=-(x-h)
2的圖象經過點A(3,-1),
∴-1=-(3-h)
2.
∴h
1=2,h
2=4.
∴點P的坐標為(2,0)或(4,0).
(i)當點P的坐標為(2,0)時,
∵一次函數y=ax+b的圖象經過點P和點A,
∴

解得

,
(ii)當點P的坐標為(4,0)時,
∵一次函數y=ax+b的圖象經過點P和點A,
∴

解得

,
∵一次函數的圖象與y軸的正半軸相交,
∴

不符合題意,舍去.
∴所求的一次函數解析式為y=-x+2.
(3)∵點P的坐標為(2,0),點A的坐標為(3,-1),點B的坐標為(0,-4),
∴BP=2

,AB=3

,AP=

.
∴

,BP
2=20.
∴AB
2+AP
2=BP
2.
∴∠BAP=90°.
∴

.
點評:本題主要考查二次函數的綜合題的知識點,解答本題的關鍵掌握二次函數的性質,待定系數求解析式和勾股定理逆定理的應用,此題難度不是很大,是一道不錯的習題.