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已知:二次函數y=-(x-h)2+k圖象的頂點P在x軸上,且它的圖象經過點A(3,-1),與y軸相交于點B,一次函數y=ax+b的圖象經過點P和點A,并與y軸的正半軸相交.
求:(1)k的值;
(2)這個一次函數的解析式;
(3)∠PBA的正弦值.
【答案】分析:(1)根據二次函數y=-(x-h)2+k圖象的頂點P在x軸上即可求出k的值;
(2)首先根據二次函數y=-(x-h)2的圖象經過點A(3,-1),求出P點的坐標,然后利用待定系數法求出一次函數的解析式;
(3)點P的坐標為(2,0),點A的坐標為(3,-1),點B的坐標為(0,-4),求出BP、AP、AB的長度,利用勾股定理逆定理證明∠BAP=90°,進而求出∠PBA的正弦值.
解答:解:(1)∵二次函數y=-(x-h)2+k圖象的頂點P在x軸上,
∴k=0. 

(2)∵二次函數y=-(x-h)2的圖象經過點A(3,-1),
∴-1=-(3-h)2
∴h1=2,h2=4.
∴點P的坐標為(2,0)或(4,0).  
(i)當點P的坐標為(2,0)時,
∵一次函數y=ax+b的圖象經過點P和點A,
解得
(ii)當點P的坐標為(4,0)時,
∵一次函數y=ax+b的圖象經過點P和點A,
解得
∵一次函數的圖象與y軸的正半軸相交,
不符合題意,舍去. 
∴所求的一次函數解析式為y=-x+2. 

(3)∵點P的坐標為(2,0),點A的坐標為(3,-1),點B的坐標為(0,-4),
∴BP=2,AB=3,AP=. 
,BP2=20.
∴AB2+AP2=BP2
∴∠BAP=90°. 

點評:本題主要考查二次函數的綜合題的知識點,解答本題的關鍵掌握二次函數的性質,待定系數求解析式和勾股定理逆定理的應用,此題難度不是很大,是一道不錯的習題.
練習冊系列答案
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精英家教網已知:二次函數的表達式為y=2x2+4x-1.
(1)設這個函數圖象的頂點坐標為P,與y軸的交點為A,求P、A兩點的坐標;
(2)將二次函數的圖象向上平移1個單位,設平移后的圖象與x軸的交點為B、C(其中點B在點C的左側),求B、C兩點的坐標及tan∠APB的值.

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已知:二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點A的坐標是(-2,0),點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OC<OB)是方程x2-10x+24=0的兩個根.
(1)求B、C兩點的坐標;
(2)求這個二次函數的解析式.

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已知:二次函數y=x2-2(m-1)x-1-m的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,與y軸交于點C,且滿足
1
AO
-
1
OB
=
2
CO

(1)求這個二次函數的解析式;
(2)是否存在著直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q,使y軸平分△CPQ的面積?若存在,求出k、b應滿足的條件;若不存在,請說明理由.

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已知:二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,其中A點坐標為(-3,0),與y軸精英家教網交于點C,點D(-2,-3)在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出PA+PD的最小值;
(3)點G拋物線上的動點,在x軸上是否存在點E,使B、D、E、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的E點坐標;如果不存在,請說明理由.

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已知:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y滿足下表:
x 0 1 2 3 4 5
y 3 0 -1 0 m 8
(1)可求得m的值為
3
3

(2)求出這個二次函數的解析式;
(3)當0<x<3時,則y的取值范圍為
-1≤y<3
-1≤y<3

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