Question

【題目】如圖，是邊長為的等邊三角形，是邊上一動點，由向運動（與、不重合），是延長線上一動點，與點同時以相同的速度由向延長線方向運動（不與重合），過作于，連接交于．

（1）若時，求的長；

（2）當時，求的長；

（3）在運動過程中線段的長是否發生變化？如果不變，求出線段的長；如果發生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2（2）2（3）DE＝3為定值，理由見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到∠A＝60，根據三角形內角和定理得到∠APE＝30，根據直角三角形的性質計算；

（2）過P作PF∥QC，證明△DBQ≌△DFP，根據全等三角形的性質計算即可；

（3）根據等邊三角形的性質、直角三角形的性質解答．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝60，

∵PE⊥AB，

∴∠APE＝30，

∵AE＝1，∠APE＝30，PE⊥AB，

∴AP＝2AE＝2；

（2）解：過P作PF∥QC，

則△AFP是等邊三角形，

∵P、Q同時出發，速度相同，即BQ＝AP，

∴BQ＝PF，

在△DBQ和△DFP中，

，

∴△DBQ≌△DFP，

∴BD＝DF，

∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30，

∴BD＝DF＝FA＝AB＝2，

∴AP＝2；

（3）解：由（2）知BD＝DF，

∵△AFP是等邊三角形，PE⊥AB，

∴AE＝EF，

∴DE＝DF＋EF＝BF＋FA＝AB＝3為定值，即DE的長不變．