Question

（2004•煙臺）已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于D，交AC于E，
（1）如圖①，若AB=6，CD=2，求CE的長；
（2）如圖②，當∠A為銳角時，使判斷∠BAC與∠CBE的關系，并證明你的結論；
（3）若②中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針旋轉，當∠BAC為鈍角時，如圖③，CA的延長線與圓O相交于E．
請問：∠BAC與∠CBE的關系是否與（2）中你得出的關系相同？若相同，請加以證明，若不同，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD．根據直徑所對的圓周角是直角，得AD⊥BC，根據等腰三角形的性質，得BD=CD=2，再根據割線定理即可求得CE的長；
（2）根據（1）中等腰三角形的三線合一，得AD平分∠BAC，結合圓周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（3）連接AD．根據等腰三角形的三線合一和圓內接四邊形的性質，即可證明∠BAC=2∠CBE．
解答：解：（1）連接AD．
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
又CD=2，
∴BD=2．
由CE•CA=CD•CB，得
6•CE=2•（2+2），
∴CE=．

（2）∠BAD與∠CBE的關系是：∠BAC=2∠CBE．理由如下：
由（1），得AD⊥BC．
又AB=AC，
∴∠1=∠2．
又∠2=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

（3）相同．理由如下：
連接AD．
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵∠CAD是圓內接四邊形AEBD的外角，
∴∠2=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE．
點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、等腰三角形的性質、圓內接四邊形的性質．