Question

某商場進了一批單價16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格，經試驗發現，若每件按20元的價格銷售時，每月能賣360件；若每件按25元價格銷售時，每月能賣210件，若每月銷售件數y件與價格x（元/件）滿足關系式y=kx+b．
（1）確定k與b的值；
（2）為了使每月該商品獲得利潤1920元，該商品應定為每件多少元；
（3）請你為該商場估算一下，為了使該商品每月獲得的利潤最大，該商品應定為每件多少元？

Answer 1

分析：（1）可根據題意用待定系數法，求出k，b的值．
（2）根據（1）中利潤與售價x的函數關系式，當利潤是1920元時，就得到關于x的方程，從而求解．
（3）利潤=單件的利潤×銷售的數量．然后根據函數的性質來求出利潤最大的方案．

解答：解：（1）由題意可知：

20k+b=360 25k+b=210

，
解得：k=-30，b=960．
（2）設利潤M，則M與x的函數關系式是：M=（-30x+960）（x-16）．
即M=-30x²+1440x-15360
當M=1920時，即-30x²+1440x-15360=1920，
解方程得：x=24．
即為了獲得1920元的利潤，商品價格每件應定為24元

（3）由（1）可知：y與x的函數關系應該是y=-30x+960，
設利潤為W，由題意可得W=（x-16）（-30x+960）=-30x²+1440x-15360=-30（x-24）²+1920，
∵-30＜0，
∴當x=24時利潤最大，W_最大=1920
答：當定價為24元時利潤最大，最大的利潤為1920元．

點評：本題綜合考查了一次函數的應用、二次函數的應用，待定系數法求函數解析式的知識，解答本題的關鍵是仔細審題得到所需要的關系式，熟練配方法求二次函數的最值．