Question

如圖11，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，FB是⊙O的切線交AD的延長線于點F.

　　

　　(1)求證：DE是⊙O的切線；

　　(2)若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長.

　

Answer 1

解：(1)

連接OD.

　　∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2.

　　又∵OA=OD ，∴∠1=∠3.

　　∴∠2=∠3.

　　∴OD∥AE.

　　∵DE⊥AE，

　　∴DE⊥OD.

　　而D在⊙O上，

　　∴DE是⊙O的切線.

　　(2)過D作DG⊥AB 于G.

　　∵DE⊥AE ，∠1=∠2.

　　∴DG=DE=3 ，半徑OD=5.

　　在Rt△ODG中，根據勾股定理: ，

　　∴AG=AO+OG=5+4=9.

　　∵FB是⊙O的切線， AB是直徑，

　　∴FB⊥AB.而DG⊥AB，

　　∴DG∥FB.

　　△ADG∽△AFB，

　　∴.

　　∴. ∴BF=