Question

（2012•德化縣一模）如圖，在直角坐標中，直線y=kx-3，分別與x軸，y軸交于B（3，0）、C，過B、C兩點的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于另一點A（點A在B左邊），且S_△ABC=3
（1）求k的值；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點P在拋物線上，且∠ACP=45°，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點B代入直線，計算即可求出k值；
（2）利用直線解析式求出點C的坐標，再根據△ABC的面積求出AB的長度，然后求出OB的長，再求出OA的長，從而得到點A的坐標，再利用待定系數法求拋物線解析式解答即可；
（3）根據點B、C的坐標求出OB、OC的長度，然后求出∠OCB=∠OBC=45°，BC=3

2

，延長CP交x軸于點Q，可以求出∠OCA=∠BCQ，然后求出∠BCQ的正切值，再過B點作BD⊥BC交CQ于點D，然后求出BD的長度，并判定△BQD和△CQA相似，設BQ=n，根據相似三角形對應邊成比例用n表示出CQ，在Rt△OCQ中，根據勾股定理列式求出n的值，再求出OQ，從而得到點Q的坐標，然后根據待定系數法求出直線CQ解析式，在與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵直線BC經過B（3，0），
∴3k-3=0，
解得k=1；

（2）由（1）可知直線BC：y=x-3，
當x=0時，y=-3，
所以，C（0，-3），
所以，c=-3，
又∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

AB×3=3，
∴AB=2，
∴OA=3-2=1，
∴A（1，0），
由題意，得

a+b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=-1 b=4

，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；

（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴BC=3

2

，如圖，延長CP交x軸于點Q，
又∵∠ACP=45°，
∴∠OCA=∠BCQ，
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，
∴tan∠OCA=

OA

OC

=

1

3

，AC=

10

，
∴tan∠BCQ=

1

3

，
過B點作BD⊥BC交CQ于點D，則∠QBD=45°，
∴在Rt△BDC中，BD=tan∠BCQ•BC=

1

3

×3

2

=

2

，
又∵∠BQD=∠CQA，
∴△BQD∽△CQA，
∴

BQ

CQ

=

BD

AC

，
即

BQ

CQ

=

2

10

=

1

5

，
設BQ=n，則CQ=

5

n，
在Rt△OCQ中，（n+3）²+3²=（

5

n）²，
整理得，2n²-3n-9=0，
解得，n₁=-

3

2

（負值，舍去），n₂=3，
即BQ=3，
則OQ=6，
則點Q（6，0），
設直線CP的解析式為y=kx-3，
則6k-3=0，
解得k=

1

2

，
故直線CP的解析式為y=

1

2

x-3，
聯立

y= 1 2 x-3 y=-x2+4x-3

，
解得

x1=0 y1=-3

（為點C坐標，舍去），

x2= 7 2 y2=- 5 4

．
所以點P（

7

2

，-

5

4

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及待定系數法求函數解析式（直線解析式，二次函數解析式），三角函數的定義，相似三角形的判定與性質，勾股定理，前兩問比較簡單，（3）作出輔助線，構造出相似三角形是解題的關鍵．