Question

已知△ABC中，∠ACB=90°（如圖），點P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA=PB．
（1）先用尺規作出符合要求的點P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；
（2）設PA=m，PC=n，試用m、n的代數式表示△ABC的周長和面積；
（3）設CP與AB交于點D，試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質即可判斷出△ABP是等腰直角三角形；
（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB=m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE=n，即CA+CB=2CE=n，由△ABC的周長為=AB+BC+CA即可得出其周長，再根據S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB即可得出其面積；
（3）過點D分別作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足為M、N，由角平分線的定義及銳角三角函數的定義可知DM=DN=CDsin45°=CD，由平行線分線段成比例定理可知=，=，再把兩式相加即可得出結論．
解答：解：（1）依題意，點P既在∠ACB的平分線上，又在線段AB的垂直平分線上．
如圖1，作∠ACB的平分線CP，作線段AB的垂直平分線PM，CP與PM的交點即為所求的P點．
△ABP是等腰直角三角形．
理由如下：過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F（如圖2）．
∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，
∴PE=PF．
在Rt△APE與Rt△BPF中，
∵，
∴Rt△APE≌Rt△BPF．
∴∠APE=∠BPF，
∵∠PEC=90°，∠PFC=90°，∠ECF=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠APB=90°．
又∵PA=PB，
∴△ABP是等腰直角三角形．

（2）如圖2，∵在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=m，
由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，
在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，
∴CE=PE=n，
∴CA+CB=2CE=n，
∴△ABC的周長為=AB+BC+CA=m+n．
∵S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB
=AC•PF+BC•PF-PA•PB
=（AC+BC）•PE-PA²
=×n×n-m²
=n²-m²（n＞m）．
[或 S_△ABC=AC•BC=[（AC+BC）²-（AC²+BC²）]=（n²-m²）]

（3）不變．
【法1】過點D分別作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足為M、N（圖3）．
易得 DM=DN=CDsin45°=CD，
由DN∥AC得=①；
由DM∥BC得=②，
①+②，得+=，即+=1
∴（+）=1，即+=；
【法2】（前面同法1）又∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，S_△ABC=AC•BC
∴S_△ACD=S_△BCD=AC•DM+BC•DN=（AC+BC）•CD
∴（AC+BC）•CD=AC•BC
∴=，即+=；
【法3】過點D作DN⊥BC，垂足為N（圖4）．
在Rt，CDN中，∠DCN=45°，DN=CN=CD，
由DN∥AC得=①；=②
①+②，得+=，即+=1
則（+）=1，即+=；
【法4】過點B作BG∥DC，交射線AC于點G（如圖5）
易得∠G=∠ACD=∠BCD=∠CBG=45°，BG=BC=CG．
∵BG∥DC，
∴=，
∴=，=，
即+=；

【法5】過點A作CB的平行線，交射線CD于點K（見圖6），
得CK=AC，DK=CK-CD=AC-CD，
又=，即=，
所以=-，即+=；
【法6】分別過點A、B分別作CD的平行線，交射線BC于點H，交射線AC于點G（見圖7）．
得AH=AC，BG=BC，
又∵=，=
∴+=1，
即+=1，即+=；
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到角平分線及線段垂直平分線的作法及性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質及三角形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．