Question

【題目】（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD=CE；

（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．

填空：∠AEB的度數為　 　；線段BE與AD之間的數量關系是　 　．

（3）拓展探究

如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷∠AEB的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠AEB的度數為60°；線段BE與AD之間的數量關系是：BE=AD；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1) 根據已知條件可知，要想證明BD=CE，可以證明△BAD與△CAE全等. 根據已知條件中關于等腰三角形的敘述，可以得到AB=AC，AD=AE. 由于這兩個等腰三角形的頂角均為40°，所以這兩個頂角分別減去∠DAC也一定相等. 綜合上述條件，利用SAS可以證明△BAD與△CAE全等，進而證明BD=CE.

(2) 根據已知條件不難利用SAS證明△ACD和△BCE全等. 利用全等三角形的相關性質，可以得到AD=BE，即線段BE與AD之間的數量關系是BE=AD. 同理，根據全等三角形的性質可知∠ADC=∠BEC. 根據等邊三角形的性質和鄰補角的相關結論可知，∠BEC=∠ADC=120°. 利用等邊三角形的性質即可求得∠AEB的度數.

(3) 通過兩個直角與∠DCB的和差關系可以得到∠ACD=∠BCE，再結合等腰直角三角形的性質，不難利用SAS證明△ACD和△BCE全等. 利用全等三角形的性質可以得到AD=BE. 根據等腰直角三角形的性質，可以得到CM=DM=EM. 綜上所述，AE=AD+DE=BE+2CM.

試題解析：

(1) 證明：∵∠BAC=∠DAE=40°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.

∵△ABC與△ADE分別是以BC與DE為底邊的等腰三角形，

∴AB=AC，AD=AE.

∵在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE (SAS)，

∴BD=CE.

(2) 本小題應依次填寫：60°；BE=AD. 理由如下.

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE.

∵在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE (SAS)，

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，

∴∠BEC=∠ADC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.

綜上所述，∠AEB的度數為60°；線段BE與AD之間的數量關系是：BE=AD.

(3) ∠AEB的度數為90°；線段CM，AE，BE之間的數量關系是：AE=BE+2CM. 理由如下.

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形且∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，CD=CE，∠CDE=∠CED=45°.

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE.

∵在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE (SAS)，

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵∠CDE=45°，

又∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-45°=135°，

∴∠BEC=∠ADC=135°.

∵∠BEC=135°，∠CED=45°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.

∵CM為△DCE中DE邊上的高，即CM⊥DE，

∴在等腰直角三角形DCE中，DM=EM.

∵CM⊥DE，∠CDE=45°，

∴△CMD是等腰直角三角形，

∴CM=DM.

∴CM=DM=EM.

∵DE=DM+EM=2CM，

又∵AD=BE，

∴AE=AD+DE=BE+2CM.