Question

如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG如圖放置，連接AG、AE；
（1）求證：AG=AE； 
（2）過點F作FP⊥AE于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，求證：NH=FM．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明△ABG≌△ADE，再根據全等三角形的性質即可得出；
（2）過M作MK⊥BC于K，通過證明△MHK≌△AED，可得MH=AE=AG，再根據平行線分線段成比例可證NH=FM．
解答：證明：（1）∵BC-GC=CD-EC，
∴BG=DE，
在△ABG與△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴AG=AE；

（2）過M作MK⊥BC于K．
在△MHK與△AED中，
∵∠MKH=∠ADE=90°，MK=AD，∠HMK=∠EAD=90°-∠AMP，
∴△MHK≌△AED，
∴MH=AE，
由（1）知AE=AG，
∴MH=AE=AG．
可得∠AGH=∠MHG，
∴QH=QG，
∵AM∥HG，
∴，
∴QM=QA，QH=QG，
∴QM=QN，QF=QH，
∴NH=MF．
點評：本題綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例，難度中等．