Question

【題目】如圖1，二次函數的圖象與一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為（0,1），點B在第一象限內，點C是二次函數圖象的頂點，點M是一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點，過點B作x軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48.

（1）求直線AB和直線BC的解析式；

（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD//x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F，當PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+BH的值最小，求點H的坐標和GH+BH的最小值；

（3）如圖2，直線AB上有一點K（3,4），將二次函數沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線使點A，點C的對應點分別為點A’，點C’；當△A’C’K是直角三角形時，求t的值。

Answer 1

【答案】（1）=x+1；=2x-5；（2）H（5,6）；7.5；（3）t=0或t=4或t=

【解析】

試題分析：（1）首先得出點C的坐標，根據△AMO和四邊形AONB的面積之比得出△AMO和△BMN的面積之比，從而得出BN=7，然后求出點B的坐標，得出直線AB和直線BC的解析式；（2）設點P（x0,x0+1），則D（，x0+1），PE=x0+1，PD=3-0.5x0，根據△PDF∽△BGN得出PE·PF最大時，PE·PD也最大，然后得出PE·PD的函數解析式，根據函數的性質得出點G的坐標，根據△MNB是等腰直角三角形，過B作x軸的平行線，則BH=B1H，從而得出答案；（3）令直線BC與x軸交于點I，則I（2.5,0）于是IN=3.5，IN：BN=1:2，則沿直線BC平移時，橫坐標平移m時，縱坐標則平移2m，平移后A’（m,1+2m）,C’（2+m,-1+2m），然后根據當∠A’KC’=90°，當∠KC’A’=90°和當∠KA’C’=90°三種情況，分別利用勾股定理得出答案.

試題解析：（1）C（2，-1）. 由S△AMO：S四邊形AONB=1：48，可得由S△AMO：S△BMN=1：49，

所有BN=7，帶入二次函數解析式可得B（6,7）。 所以=x+1；=2x-5.

（2）設點P（x0,x0+1），則D（，x0+1），則PE=x0+1，PD=3-0.5x0，

由于△PDF∽△BGN，所以PF:PD的值固定，于是PE·PF最大時，PE·PD也最大，

PE·PD=（x0+1）（3-0.5x0）=，所以當x0=2.5時，PE·PD最大，即PE·PF最大。

此時G（5,3.5）

可得△MNB是等腰直角三角形，過B作x軸的平行線，則BH=B1H，

GH+BH的最小值轉化為求GH+HB1的最小值，

所以當GH和HB1在一條直線上時，GH+HB1的值最小，此時H（5,6），最小值為7-3.5=3.5

（3）令直線BC與x軸交于點I，則I（2.5,0）于是IN=3.5，IN：BN=1:2，

所以沿直線BC平移時，橫坐標平移m時，縱坐標則平移2m，平移后A’（m,1+2m）,C’（2+m,-1+2m），

則A’C’2=8,A’K2=5m2-18m+18,C’K2=5m2-22m+26，

①、當∠A’KC’=90°時，A’K2+KC’2=A’C’2，解得m=，此時t=;

②、當∠KC’A’=90°時，KC’2+A’C’2=A’K2，解得m=4,此時t=;

③、當∠KA’C’=90°時，A’C’2+A’K2=KC’2，解得m=0,此時t=0

綜上所述：t=0或t=4或t=