Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接DM．下列結論：①DF=DN ②AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正確的結論個數是 ( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】試題分析：求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷①，證△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判斷②；根據A、B、D、M四點共圓求出∠ADM=22.5°，即可判斷④，根據三角形外角性質求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判斷③．

解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，

∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE，

∵M為EF的中點，

∴AM⊥BE，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中

∴△FBD≌△NAD，

∴DF=DN，∴①正確；

在△AFB和△△CNA中

∴△AFB≌△CAN，

∴AF=CN，

∵AF=AE，

∴AE=CN，∴②正確；

∵∠ADB=∠AMB=90°，

∴A、B、D、M四點共圓，

∴∠ABM=∠ADM=22.5°，

∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正確；

∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，

∴∠MDN=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°=∠DNM，

∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正確；

即正確的有4個，

故選D．