Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為.

(1) 求此二次函數解析式；
(2) 點為點關于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的內部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結、、，求和的最小值.

Answer 1

(1) (2) 點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標為（2， ）
(3)8

試題分析：(1) ∵點A、B的坐標分別為（-1,0）、（3,0），

∴
解得
∴二次函數解析式為.
（2）可求點C的坐標為（1，）
∴點D的坐標為（1，）.
可求直線AD的解析式為 .
由題意可求直線BK的解析式為.
∵直線的解析式為,
∴可求出點K的坐標為(5,).易求 .
∴四邊形ABKD是菱形.
∵菱形的中心到四邊的距離相等，
∴點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標為（2， ） . 
(3) ∵點D、B關于直線AK對稱,
∴的最小值是.
過K作KF⊥x軸于F點. 過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q,
∴KP⊥AD.
∵AK是∠DAB的角平分線,
∴.
∴的最小值是.即BP的長是的最小值.
∵BK∥AD,
∴.
在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.
∴的最小值為8.    
點評：本題難度較大，主要考查學生對二次函數性質的掌握，本題難度較高在圖像分析較復雜，需要學生有扎實基礎來理清思路。一般為壓軸題型，基礎較好的同學要多加訓練，培養解題感覺。