Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，若AD=3，BC=7，則梯形ABCD面積的最大值    ．

Answer 1

【答案】分析：解法一、平移對角線AC后，會構造出一個直角三角形，這個直角三角形的面積就等于原梯形的面積．該三角形的斜邊為3+7=10，此時，它的高越大，面積就越大．解法二、過O作ON⊥AD于N，設ON=h，AO=a，DO=ka，求出△ANO∽△AOD，得出比例式，代入求出h=，根據勾股定理得出a²+（ka）²=3²，求出a²=，推出h=，只有當k=1時，即△AOD是等腰三角形時，h有最大值是1.5，同理求出△BOC邊BC上的高的最大值式3.5，據梯形的面積公式代入求出即可，
解答：解：
解法一、過D作DE∥AC交BC延長線于E，
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，
∴根據等底等高的三角形面積相等得出△ADC的面積等于△DCE的面積，
即梯形ABCD的面積等于△BDE的面積，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，
∴此時△BDE的邊BE邊上的高越大，它的面積就越大，
即當高是BE時最大，
即梯形的最大面積是×10××10=25；

解法二、過O作ON⊥AD于N，
設ON=h，AO=a，DO=ka，
∵∠DAO=∠DAO，∠ANO=∠AOD=90°，
∴△ANO∽△AOD，
∴=，
∴=
∴h=，
而在Rt△AOD中，由勾股定理得：a²+（ka）²=3²，
a²=，
∴h=，
∵k＞0，
∴只有當k=1時，即△AOD是等腰三角形時，h有最大值是1.5，
同理求出△BOC邊BC上的高的最大值式3.5，
∴梯形ABCD的面積的最大值是：S=×（3+7）×（1.5+3.5）=25，
解故答案為：25．
點評：本題主要考查對梯形的性質，等腰三角形的性質等知識點的理解和掌握，求出△AOD的邊AD和△BOC的邊BC上的最大值是解此題的關鍵．