Question

推理運算：
拋物線經過A、B、C三點，頂點為D，且與x軸的另一個交點為E．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABDE的面積；
（3）求證：△BDE為直角三角形；
（4）求證：△AOB∽△BDE．

Answer 1

分析：（1）根據圖象給出的信息，即可得到A、B、C三點的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，易求得頂點D的坐標；由于四邊形ABDE不規則，可將其面積轉化為其他規則圖形面積的和差；過D作DF⊥x軸于F，那么四邊形ABDE的面積可由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面積和求得；
（3）根據B、D、E三點坐標，可分別求出BD、DE、BE的長，進而由勾股定理來判定△BDE是否為直角三角形；
（4）在（3）中，已證得∠BDE=90°，那么可以看所求的兩個三角形的對應直角邊是否成比例即可．

解答：（1）解：由圖知：A（-1，0），B（0，3），C（2，3）；
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）解：過D作DF⊥x軸于F；
由（1）的拋物線易得：D（1，4），E（3，0）；
則OF=1，DF=4，EF=2；
∴S_{四邊形ABDE}=S_△AOB+S_△DEF+S_梯形BOFD=

1

2

×1×3+

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1=9；

（3）證明：∵B（0，3），D（1，4），E（3，0），
∴BD²=2，DE²=20，BE²=18；
∴BD²+BE²=DE²，
故△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°；

（4）證明：由（3）知：BD=

2

，DE=3

2

；
∴OA：OB=BD：DE=1：3；
又∵∠AOB=∠BDE=90°；
∴△AOB∽△BDE．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定等知識，要求學生熟練掌握這些基礎知識．