Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．
（1）若∠AOC=48°，求∠ACD的度數；
（2）若AB=8，AD=2，求AC的長．

Answer 1

（1）解：∵OA=OC，∠AOC=48°，
∴∠OAC=∠OCA=66°，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD=90°-∠OCA=24°．

（2）解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
又∵OC⊥CD，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，∠ACD+∠OCA=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC²=AB•AD=16，
∴AC=4．
分析：（1）根據等腰三角形性質和三角形的內角和定理求出∠OCA，根據切線性質求出∠OCD，即可求出答案；
（2）證△ACD∞△ABC，得出比例式，代入求出即可．
點評：本題考查關了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，三角形的內角和定理等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．