Question

如圖，在等邊△ADM中，BC∥MD交AM于C，交AD于B，延長BC到E，使CE=AM，過M作MF⊥BC于F，
求證：BF=EF．

Answer 1

分析：連接BM，先判定△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得AB=AC，然后求出BD=MC，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠ECM=∠AMD=60°，然后求出∠ECM=∠D，再利用“邊角邊”證明△BDM和△CME全等，根據全等三角形對應邊相等可得MB=ME，然后利用等腰三角形三線合一的性質證明即可．

解答：證明：如圖，連接BM，
∵在等邊△ADM中，BC∥MD，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
在等邊△ADM中，AD=AM=DM，∠D=∠AMD=60°，
∴AD-AB=AM-AC，
即BD=MC，
∵BC∥MD，
∴∠ECM=∠AMD=60°，
∴∠ECM=∠D，
∵CE=AM，
∴CE=DM，
在△BDM和△CME中，

BD=MC ∠ECM=∠D CE=DM

，
∴△BDM≌△CME（SAS），
∴MB=ME，
∵MF⊥BC，
∴BF=EF（等腰三角形三線合一）．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．