Question

八（一）班同學到野外上數學活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設計了如下方案：
（Ⅰ）如圖1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；
（Ⅱ）如圖2，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點使BC=CD，接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離．

閱讀后回答下列問題：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？請說明理由；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？請說明理由；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是______；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？______．

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）可行；
∵DC=AC，EC=BC且有對頂角∠ACB=∠DCE
∴△ACB≌△DCE（SAS）
∴AB=DE
∴測出DE的距離即為AB的長
故方案（Ⅰ）可行．

（2）方案（Ⅱ）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD
∴∠ABC=∠EDC=90°
又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB=ED
∴測出DE的長即為AB的距離
故方案（Ⅱ）可行．

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．
若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴=，
∴只要測出ED、BC、CD的長，即可求得AB的長．
但是此題沒有其他條件，可能無法測出其他線段長度，
∴方案（Ⅱ）不成立．
分析：（1）由題意可證明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由題意可證明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，故此時方案（Ⅱ）不成立．
點評：本題主要考查了全等三角形的證明及性質和相似三角形的判定和性質．