Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2，以CD為直徑作⊙O交AD于點E，過點E作EF⊥AB于點F，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A、B兩點坐標分別為A（2，0）、B（0，）．
（1）求C、D兩點坐標；
（2）求證：EF為⊙O′的切線；
（3）寫出頂點為C且過點D的拋物線的函數解析式，并判斷該拋物線是否過原點．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CE，因為CD是⊙O’的直徑，所以CE⊥X軸，根據等腰梯形的性質可知EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，所以DO=4，因此C（-2，），D（-4，0）．
（2）連接O’E，在⊙O’中，因為O’D=O’E，所以∠O’DE=∠DEO’，根據等腰梯形的性質可證得O’E∥AB，又因為EF⊥AB，
所以O’E⊥EF．根據切線的判定定理可知EF為⊙O’的切線．
（3）由（1）知C（-2，），D（-4，0），利用二次函數的頂點式可得頂點是C的拋物線的解析式為y=-x²-2x．根據點的意義可把原點坐標（0，0）代入函數關系式看是否滿足即可．
解答：解：（1）連接CE，因為CD是⊙O′的直徑，
所以CE⊥X軸，
所以在等腰梯形ABCD中，
EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，
所以DO=4，
因此C（-2，），D（-4，0）．

（2）連接O′E，在⊙O′中，
因為O′D=O′E，
所以∠O′DE=∠DEO′，
又因為在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD，
所以∠DEO′=∠BAD，
所以O′E∥AB，
又因為EF⊥AB，
所以O′E⊥EF．
又因為E在⊙O′上，
所以EF為⊙O′的切線．

（3）由（1）知，C（-2，），D（-4，0），
y=x（x+2）²+2，
∴0=a（-4+2）²+2，
∴a=-，
可得頂點是C的拋物線的解析式為y=-（x+2）²+2=-x，
∵當x=0時y=0，
∴拋物線y=-x經過O（0，0），即該拋物線過原點．
點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和等腰梯形，圓的有關性質等．要熟練掌握才能靈活運用．